Espérance, variance, écart-type

Énoncé

Le programme suivant définit une variable aléatoire. 
1. from random import *
2. def g() :
3.    de=randint(1,4)
4.     if(de==1):
5.         return 0.5
6.     else :
7.         return -0.25

1. Décrire la variable aléatoire simulée dans le programme et donner sa loi de probabilité.
2. Inventer le règlement d'un jeu dont le gain pourrait être modélisé par cette variable aléatoire (notée g dans le programme Python).
3. Modifier le programme afin qu'il simule \(100\) répétitions de l'expérience aléatoire associée à la variable aléatoire g.
4. Compléter le programme afin qu'il affiche la somme des valeurs prises par g lors des \(100\) répétitions. Puis afficher la moyenne des valeurs prises par g.
5. Calculer l'espérance de g et la comparer à la moyenne calculée précédemment.
6. Que se passe-t-il lorsqu'on simule \(1\ 000\) tirages ? Puis \(10 \ 000\) ?
7. Compléter l'algorithme afin qu'il affiche la variance et l'écart-type de la variable aléatoire g.

Solution

1. from random import *    
2. from math import *            # Ce module est nécessaire pour utiliser la racine carrée.
3. def g() :                                  # On définit la fonction qui simule la variable aléatoire g.
4.     de=randint(1,4)
5.     if(de==1):
6.         return 0.5
7.     else :
8.         return -0.25
9. n_lancers=100
10. G=[]                                      # On définit une liste qui contiendra les valeurs prises par g.
11. for i in range(n_lancers) :
12.     G.append(g())     # On remplit la liste G avec chaque valeur prise par g lors de la simulation.
13. print(G)                                # On affiche la liste (non nécessaire dans le cadre de l'exercice).
14. def somme_liste(liste) :  # Cette fonction permet de calculer la somme de tous les termes de la liste G.
15.    somme=0
16.     for i in range(len(liste)):
17.         somme=somme+liste[i]
18.     return somme
19. gain_moyen= somme_liste(G)/len(G)   # On calcule le gain moyen.
20. def variance_liste(liste, moyenne) :   # Cette fonction permet de calculer la variance.
21.     variance=0
22.     for i in range(len(liste)):
23.         variance=variance+(liste[i]-moyenne)**2  # Pour chaque élément  \(x_i\)  de la liste G, on calcule \((x_i-\text{gain moyen})^2\) et on l'additionne à variance.
24.     variance=variance/len(liste)     # On calcule la variance
25.     return variance
26. print('gain moyen = ', gain_moyen, ' variance = ', variance_liste(G,gain_moyen),' écart-type = ',sqrt(variance_liste(G,gain_moyen)))   # On affiche les résultats demandés ; il est possible de mieux arrondir les valeurs numériques en utilisant l'instruction round.